Problemas de optimización y de tasas relacionadas

Problemas de optimización y de tasas relacionadas

Los Problemas de optimización y de tasas relacionadas son utilizados por la general en la resolución y obtención de medidas máximas y mínimas globales de una función, con estas medidas o dimensiones se pueden realizar muchas cosas, que puede ser desde obtener el espacio en un recipiente, hasta la cantidad mínima de metal necesario para fabricar piezas o instrumentos y esto solo es la punta del tema.

Los problemas de optimización por lo general son utilizados para realizar tareas especificas dependiendo de la  función asignada, una de las características de estos problemas es que para llegar a una solución primero se deben calcular los valores máximos y mínimos de la función, esto con el fin de proseguir con una determinada operación, algo a tomarse en cuenta es que algunas funciones a las cuales debemos calculares el máximo y mínimo, pueden poseer ciertas restricciones y el procedimiento puede variar para su resolución.

No hay que confundir los problemas de optimización con los utilizados para encontrar máximos o mínimos locales, ya estos no son los que buscamos en este tema, los que en realidad buscamos son los valores máximos y mínimos globales de la función dada, a estos valores también se les conoce como “absolutos”, Por simple lógica podemos determinar que los valores globales son mayores que los locales y debidos a esto podemos obtener un mejor resultado a la hora de resolver un problema. Debido a que este resultado es mejor que si ser hiciera de forma local se puede decir que el resultado esta optimizado (aun que simplemente estamos tomando más datos para llegar a un resultado más preciso).

Para entender por que lo llamamos resultado optimizado pongamos un ejemplo (que quizá no tiene mucho que ver pero la idea es lo importante). Supongamos que se tiene una calculadora y al elaborar una operación esta nos arroja un resultado de 89.9493942, por lo general solo ocupamos algunas cifras después del punto, en este caso seria solo 89.94, a esto se le puede entender como el valor local, si a este resultado le sumáramos otra cantidad, como por ejemplo 5, tendríamos 94.94, este resultado es local y los demás valores del resultado real no son tomados en cuenta, un problema de optimizan tomaría en cuenta dichos valores para que el resultado fuera de 94.9493942. Pero como dije esto es ejemplo solo es para darle un sentido a la idea de que queremos y debemos utilizar los valores máximos y mínimos globales de la función para resolverla.

Hay que tener en cuenta que en ocasiones existirán casos, donde el mínimo o máximo global no existe para la función dada. En estos casos se debe tener en cuenta que la gráfica para la función correspondiente puede ayudar en gran manera.
Los siguientes pasos pueden ayudarte a desglosar un problema de optimización:
1). El primer paso es determinar cuales son las variables y constantes de la función dada. Ya que esto te servirá para determinar que parte de la función que será minimizada o maximizada.
2). La formula en un problema es fundamental, así que debemos tratar de utilizar la mejor formula que se adapte a nuestras necesidades con el fin de poder calcular el mínimo o máximo.
3). Siguiendo con el procedimiento la fórmula será escrita en términos de una sola variable, es decir, f®.
4). Establezca la diferenciación de f® a 0, f ‘® = 0, y resuelva a través de observar todas las  limitaciones y otros valores críticos para encontrar los valores extremos.
Por ejemplo, considere la función, g ® = -r2 + 4r – 2. Y siendo el intervalo en el cual el valor máximo será encontrado [0, 1]. Calculando g ‘® se obtiene,
g’ ® = −2r + 4 = 0
Por lo tanto, 2 viene a ser un valor crítico, luego reemplazando el 2 en la función g (2) = 2. Ahora sustituyendo uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos,
g (0) = −2 g (1) = 1
Se puede observar, que el valor máximo de g® en [0, 1] es 2.

Problemas resueltos de optimización de funciones

Problema 1: Obtenga el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

Solución:

Probleama de optimización 1

solución al problema de optimización de funciones 1

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Problema 2: Se quiere fabricar una lata para conservas con una forma cilíndrica (con tapa) que posea una capacidad de 1 litro. ¿Cuales deben ser las medidas o dimensiones de esta lata para que se utilice el mínimo posible de metal en su fabricación?

 Solución:
solución al problema de optimización de funciones 2
Un tipo parecido de problema es el problema de las tasas relacionadas. Se trata de un problema en el que se proporciona la tasa de variación de al menos una variable de la función y en el problema se necesita buscar la otra tasa de variación.

Ejemplos de Problemas de Optimización

Te traemos un vídeo donde de muestra un problema de optimización y la resolución del mismo para que puedas tener un apoyo visual del tema:

Ejemplos de Problemas De Tasas Relacionadas

Y para este tema te traemos una clase completa para que puedas comprender a grandes rasgos que son estos problemas y como resolverlos:

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Los Problemas de optimización y de tasas relacionadas son utilizados por la general en la resolución y obtención de medidas máximas y mínimas globales de una función, con estas medidas o dimensiones se pueden realizar muchas cosas, que puede ser desde obtener el espacio en un recipiente, hasta la cantidad...