La interpretación geométrica de la derivada

Las derivadas pueden y de hecho son aplicadas para interpretar objetos geométricos, de estos se pueden sacar tangentes en base a las abscisas presentadas.

La derivada  de una función en un punto puede explicarse como la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Lo anterior nos permite utilizar la formula que a continuación les mostramos, la cual es utilizada para calcular la tangente a f(x) en el punto de abcisa x=a:

 y – ƒ(a) = ƒ´(a) * (x-a)

Si alteramos la formula desplazando a f´(a) al denominador podemos obtener la recta normal (perpendicular):Obtención de la recta perpenndicular

La interpretación geométrica de la derivada

 

Ejercicio de La interpretación geométrica de la derivada

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva ƒ(x) = x^2 + 2x – 1 en el punto  x = 2

La fórmula a utilizar (para el resultado) es: y – ƒ(2) = ƒ´(2) * (x-2)

Paso 1: debemos analizar la ecuación del problema la cual es ƒ(x) = x^2 + 2x  y después tener presente que x = 2, una vez hecho esto se debe sustituir el valor de x en la ecuación de modo que nos debera quedar de la siguiente manera:

ƒ(2) = 2^2 + 2(2) -1 = 7

en la ecuación de arriba se muestra que se ha sustituido a x, el numero 7 es el resultado obtenido si se resolviera la ecuación, ya que 2 al cuadrado equivale a 4, 2(2) equivale a 4, estos 2 resultados sumados equivalen a 8 y por ultimo si le restamos 1 seria igual a 7.

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Paso 2: Ahora debemos enfocarnos en  ƒ´ la cual se presenta como a continuación se muestra:

ƒ´(x) = 2x +2

No hay mucho pierde aquí, tal y como el primer paso se cambia x por si valor que es 2 y se resuelve la ecuación

ƒ´(2) = 2(2) +2 = 6

Por tanto podemos decir que la ecuación es:

y – 7 = 6* (x-2)

Los que han llegado a este punto y no entienden como se sabe que ese es el resultado estarán pensando “pero que rayos paso, íbamos por pasos y luego salio de la manga”. Pues no, recuerdan la formula que debíamos utilizar para el resultado, osea y – ƒ(2) = ƒ´(2) * (x-2), pues simplemente se utilizo y se sustituyeron en ella ƒ(2) y ƒ´(2) que son las que resolvimos en el paso 1 y 2.

De esta manera “y” queda tal cual esta en la formula, el sigo negativo se mantiene, ƒ(2) es sustituida por el resultado encontrado el cual es 7, pasamos al signo de =, después se sustituye ƒ´(2) por el resultado obtenido y el resto de la formula queda tal cual.

Por ultimo y como siempre, te dejamos un apoyo visual para que puedas complementar la información que has leído en esta entrada (un muy buen vídeo que expone el tema de forma practica).

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