Las Integrales Indefinidas Trigonométricas, no son más que simples integrales cuyo valor no ha sido definido dentro de parámetros en la curva, esto con la única diferencia de que entre sus valores nos encontraremos con funciones trigonométricas tales como: sen x, cos x, tan x. sec x, etc.

Integrales trigonométricas indefinidas definición:

Tal y como lo comentamos en el párrafo anterior, se le conoce a las integrales trigonométricas como aquellas que contienen funciones como “sen x, cos x, tan x. sec x, etc” entre sus valores, además también cuentan con la propiedad de realizar el cambio general que las transforma en integrales racionales.

El cambio general no es otra cosa que el cambio de funciones por variables, de esta forma podemos remplazar toda una función con el fin de simplificar el ejercicio, posteriormente tras obtener el resultado, basta con revertir el cambio para tener de vuelta los valores originales y así obtener una respuesta correcta.

Identidades trigonométricas

A continuación te dejamos una lista de las integrales trigonométricas más utilizadas para la resolución de la mayoría de ejercicios que componen este tema.

Integrales Indefinidas Trigonométricas

tabla 1: Identidades Trigonométricas

 

Ejemplos de Integrales Indefinidas Trigonométricas

Ejemplo 1: Resolver la integral trigonométrica ∫sen^4x cos^3x dx

Nota 1: el signo * significa multiplicación (también puede ser remplazado por un punto entre los términos a multiplicar)

Paso 1: Lo primero que debemos hacer con la integral es ver si podemos reescribirla de forma que nos otorgue términos que podamos simplificar, sustituir o intercambiar, con el fin de obtener la respuesta que necesitamos, en este caso, podemos descomponer cos^3x para obtener cos^2x * cos x, de esta forma la integral nos quedaría:

∫sen^4x * cos^2x * cos x dx

Paso 2: En el paso 1 descompusimos cos^3x para obtener cos^2x * cos x, esto con el fin de encontrar una identidad trigonométrica que nos ayudara a simplificar la integral, en este punto se pone complicado el asunto, deberemos identificar una identidad en la tabla 1 que se encuentra en la parte superior, la identidad que más se parece es la primera en donde:

sen^2(x) + cos^2x = 1

Paso 3: Adaptar la identidad a nuestras necesidades, como lo que queremos remplzar es cos^2x, simplemente lo despejamos de nuestra identidad, con esto obtendríamos que:

cos^2x = 1 – sen^2(x)

Paso 4: remplazamos cos^2x por el resultado de la identidad dada en el paso 3, esto no dará:

∫sen^4x * (1 – sen^2x) cos x dx

Paso 5: Sustitución, al principio de este artículo te hablamos de el cambio general, pues bien, en este momento lo aplicaremos y sustituiremos sen x  con una literal, en este caso P:

Nota 2: observese que no utilizamos los valores elevados de la función, en lugar de sen^4x, solo usamos sen x para representar con la literal P, esto se debe a que la derivada de sen x es igual a cos x (valor que tenemos en nuestra integral y que puede ser sustituido por la variable dp (derivada de P):

P = Sen x

La derivada de P seria:

dp/dx = cos x

ahora pasamos dx multiplicando al lado derecho, con el fin de que en el lado izquierdo solo nos quede dp:

dp = cos x dx

Anuncio

Paso 6: ahora que ya obtuvimos el valor de dp, simplemente sustituimos P y dp en nuestra integral del paso 4:

Integral del paso 4: ∫sen^4x * (1 – sen^2x) cos x dx

P = Sen x

dp = cos x dx

Sustitución:

∫P^4 * (1 – P^2) dp

Paso 7: procedemos a simplificar términos, en este caso utilizaremos una propiedad distributiva, en donde P^4 multiplicara a 1 y – P^2, nuestro resultado es:

∫(P^4 – P^6) dp

Paso 8: Resolvemos la integral, dándonos como resultado:

P^5/5 – P7/ 7 + C

Paso 9: ahora simplemente deberemos remplazar P por su valor real, que en este caso es Sen x:

(Sen x)^5/5 + (Sen x)^7/7 + C

De esta forma la integral indefinida trigonométrica, esta resuelta.

Nota 3: Estos pasos son un resumen del procedimiento, depende del ejercicio, los pasos podrían cambiar o verse alterados completamente.

Ejercicios resueltos de Integrales Indefinidas Trigonométricas

Finalmente te dejamos varios vídeos en donde podrás ver como se resuelven más ejercicios, con el fín de obtener el mayor entendimiento posible para que domines el tema.

https://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Integrales-Indefinidas-Trigonométricas.pnghttps://ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/Integrales-Indefinidas-Trigonométricas.pngLuisCálculo Integral

Las Integrales Indefinidas Trigonométricas, no son más que simples integrales cuyo valor no ha sido definido dentro de parámetros en la curva, esto con la única diferencia de que entre sus valores nos encontraremos con funciones trigonométricas tales como: sen x, cos x, tan x. sec x, etc. Integrales trigonométricas indefinidas...

Nombre del autor: Luis Antonio De La Cruz Reyes.
Rango en el Staff: Administrador y fundador
Descripción: Mi nombre es Luis, un egresado de la carrera de Ingeniería Electrónica, el motivo por el cual funde y cree esta página, fue para formar un sitio que recopilara todo lo que se va a prendiendo durante la carrera, con el fin de que este conocimiento no se perdiera y sea de utilidad para las futuras generaciones.