Integrales indefinidas por sustitución trigonométrica

Integrales indefinidas por sustitución trigonométrica

Llegados a este punto y tema, debemos comprender que cada método que se utiliza para resolver una integral esta hecho para simplificar el procedimiento con el fin de llegar a un resultado, en esta ocasión hablaremos de las Integrales indefinidas por sustitución trigonométrica.

¿Que es una Integral indefinida por sustitución trigonométrica?

Pues bien, tal y como su nombre por partes lo indica, una integral indefinida es aquella que no posee un punto de Área definido con respecto a la curva elaborada en un plano cartesiano, en cuanto al parámetro de sustitución trigonométrica, se refiere a la sustitución o cambio que se le puede hacer a una integral convencional para que esta posea funciones trigonométricas.

Dependiendo del tipo de problemas y las funciones empleadas, este método podría ahorrar mucho tiempo a la hora de resolver una integral o por el contrario complicarla mucho más, es por eso que se debe tener la noción de cuando es posible utilizar este método con respecto a otros.

¿Cuando se puede aplicar el método de sustitución trigonométrica?

Este método se encuentra basado en el uso de triángulos rectángulos, con lo cual, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas salen a relucir, si tenemos que resolver una integral plasmada en un triangulo rectángulo, este método nos podría servir.

También podremos utilizar la sustitución trigonométrica cuando nos encontremos con las siguiente funciones:

Nota 1: En algunas ocasiones la “u” puede ser representada como “b”.

Otro caso en el que se puede aplicar el método de sustitución trigonométrica es cuando la integral no se pueda resolver de forma directa ni tampoco utilizando los métodos ya conocidos “por partes, sustitución o fracciones parciales”.

Ejemplo resuelto de integrales indefinidas por sustitución trigonométrica

Resolver la siguiente integral utilizando el método de sustitución trigonométrica:

Paso 1: Identificar si podemos utilizar el método de sustitución trigonométrica.

Tal y como se puede apreciar en la integral, esta posee una raíz cuadra representada como √16-x², esto hace que cumpla con los requerimientos para utilizar el método por sustitución trigonométrica.

Paso 2: Implementar el teorema de pitágoras para sacar la Hipotenusa (H), el lado opuesto (L.O) y el lado adyacente (L.A)

Para implementar el teorema de pitágoras deberemos trazar un triangulo rectángulo como se muestra a continuación:

Paso 3: Encontrar el Valor de la Hipotenusa (H), el lado opuesto (L.O) y el lado adyacente (L.A).

Para esto debemos seguir unas cuantas reglas, para encontrar la hipotenusa debemos comprender que lo que tenemos en la raiz √16-x² es una resta, con esto deducimos que el valor positivo que se encuentre a la izquierda sera la Hipotenusa, sin embargo, recordemos que la raiz sigue permaneciendo en el mismo sitio, con lo cual tendríamos que:

H =  √16 , lo que se traduciría en H = 4

Para encontrar el lado opuesto (L.O), simplemente deberemos tomar el valor que nos sobra a la derecha, este seria x², pero como se encuentra en el interior de una raiz, se debe resolver, quedando como resultado que:

L.O = X

Por último para encontrar el valor del lado adyacente (L.A), esto es relativamente sencillo cuando se trata de una integral, el lado adyacente siempre sera la misma raiz, con lo cual:

L.A = √16-x²

Paso 4: Elaborar relaciones con los valores obtenidos con el fin de sustituir √16-x² en la integral original.

Como queremos sustituir √16-x² de nuestra integral, debemos saber que este termino ahora lo conocemos como L.A y para realizar una sustitución primero debemos hacer una relación, en este caso relacionaremos L.A con H (Hipotenusa), esto se debe a que tomamos el termino que no tenga variables con el fin de no complicar el procedimiento:

L.A/H = √16-x² / 4

L.A/H (Lado adyacente entre Hipotenusa) esto puede encontrarse en una tabla de relaciones trigonométricas

Nota 2: En este artículo los estamos llamando Lado opuesto y Lado adyacente, sin embargo, realmente se les conoce como Cateto opuesto y Cateto adyacente.

Tal y como se puede apreciar en la imagen L.A / H = Cos Θ, con lo cual:

√16-x² / 4 seria igual a: 4 Cos Θ

¿Que fue lo que se hizo?

Primero que nada nos olvidaremos de que en el interior de la raiz tenemos valores superiores, con esto conseguiremos entender que toda la raiz equivale a Cos Θ, posteriormente el valor inferior “4” (la hipotenusa nos estorba y hacemos que pase de estar dividiendo a multiplicar, de esta forma obtendremos 4 Cos Θ.

Paso 5: Debemos determinar el valor de x y dx.

Como se puede observar, en el paso 4 comenzamos a utilizar Θ, esto nos impide sustituir directamente 4 Cos Θ en nuestra integral original, para poder sustituirla deberemos conocer el valor de x y dx para posteriormente pasarlos a términos de  Θ.

Para esto haremos otra relación pero en este caso utilizaremos el Lado opuesto (L.O) entre la Hipotenusa (H), esto se hace debido a que L.O es igual a x, que es el valor que necesitamos conocer.

Nos quedaría L.O/H y si miramos en la imagen del paso 2 esto seria igual a Sen Θ, desarrollándolo nos quedaría como:

L.O/H = Sen Θ

L.O/H = x/4 = 4 Sen Θ (recordemos que el valor que esta dividiendo pasa multiplicando para que tengamos solo el valor deseado)

x = 4 Sen Θ

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Ahora deberemos sacar dx y para esto solo debemos aplicar derivar el valor de x que acabamos de sacar

dx/dΘ = 4 cos Θ (recordemos que la derivada de Sen es Cos), finalmente dΘ esta dividendo por lo cual, lo pasamos multiplicando, esto nos daría como resultado que:

dx = 4 cos Θ dΘ

Paso 6: Sustitución: Ahora que ya hemos cambiado todas nuestras x por Θ, ya podemos realizar la sustitución de todos nuestros valores en la integral original.

Valores que ya tenemos:

x =4 Sen Θ
dx= 4 cos Θ dΘ
√16-x² seria igual a: 4 Cos Θ (se puede ver como se saco este resultado en el paso 4

Integral original:

∫ dx/x² √8-x²

Sustitución

∫4 cos Θ dΘ / (4 Sen Θ)² 4 Cos Θ

Eliminación (como tenemos 4 cos Θ que multiplica y divide, estos valores se eliminan, quedando solo:

∫ dΘ / (4 Sen Θ)²  = ∫ dΘ / 16 Sen² Θ

Ahora debemos rescribir la ecuación y nos quedaría

= 1/16∫ (1 / Sen² Θ)  dΘ

Paso 7: Encontrar identidades trigonométricas

para este paso deberemos apoyarnos de una tabla de identidades trigonométricas, esto para saber si podemos resolver la integral de forma directa.

La ecuación que tenemos es 1/16∫ (1 / Sen² Θ)  dΘ , ahora debemos buscar si podemos simplificarla con las identidades, como se puede adpreciar en la tabla superior, la primera identidad encaja a la perfección con nuestra ecuación, entonces:

1/16∫ (1 / Sen² Θ)  dΘ = 1/16∫ csc² dΘ

Paso 8: Resolver la integral

Llegados a este punto es cuando se justifica todo el procedimiento ya que, ahora simplemente deberemos encontrar una formula directa para resolver nuestra integral. En el formulario de integrales encontramos la formula:

con lo cual:

1/16∫ csc² dΘ = -1/16 cot Θ + C

Paso 9: Debemos sustituir Θ por x para respetar la formula de integrales, para esto nos apoyaremos de una tabla de razones trigonométricas.

En esta podemos encontrar que cot Θ = A/O  (Lado adyacente / Lado opuesto), recordemos que:

L.O = X

L.A = √16-x²

Con estos valores simplemente sustituimos la integral que nos quedo en el paso 8, la cual es -1/16 cot Θ + C

Sustitución

Lo que seria igual a:

Y ese seria el resultado final de nuestra integral, visto por primera vez el procedimiento resulta muy largo y tedioso, pero realmente es sumamente sencillo (con integrales no muy complejas).

Nota 3: Los pasos mostrados en la resolución de este problema no nos oficiales o algo preestablecido, nosotros los utilizamos para mostrar parte por parte la resolución de la integral, en algunos problemas estos pasos pueden variar o cambiar.

Ejercicios resueltos de integrales indefinidas por sustitución trigonométrica

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Vídeos para complementar el tema

A continuación te presentamos una serie de vídeos en los cuales se resuelven ejercicios del tema de hoy para que así se complemente lo que plasmamos en este artículo.

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Llegados a este punto y tema, debemos comprender que cada método que se utiliza para resolver una integral esta hecho para simplificar el procedimiento con el fin de llegar a un resultado, en esta ocasión hablaremos de las Integrales indefinidas por sustitución trigonométrica. ¿Que es una Integral indefinida por sustitución trigonométrica? Pues...

Nombre del autor: Luis Antonio De La Cruz Reyes.
Rango en el Staff: Administrador y fundador
Descripción: Mi nombre es Luis, un egresado de la carrera de Ingeniería Electrónica, el motivo por el cual funde y cree esta página, fue para formar un sitio que recopilara todo lo que se va a prendiendo durante la carrera, con el fin de que este conocimiento no se perdiera y sea de utilidad para las futuras generaciones.