Integrales indefinidas por partes: Definición, ejemplos y ejercicios

Integrales indefinidas por partes
Integrales indefinidas por partes

Las Integrales indefinidas por partes, tal y como su nombre lo indica, son integrales que no poseen un rango determinado en la medición del área con respecto a la curva, justo por ello se les conoce como indefinidas, en cuanto al concepto de “por partes“, se establece cuando se separa la integral con el fin de obtener una respuesta concreta al problema.

Formula que se utiliza en las integrales indefinidas por partes

En principio esta formula logro concretarse ya que se pensó en el hecho de que existieran 2 funciones diferenciables e integrables en el mismo problema con la finalidad de obtener una respuesta concreta sin la necesidad de realizar un procedimiento extenso, en base a eso se creo la formula:

Integración por partes
Figura 1: Integración por partes

Con el fin de crear una formula estándar que no cambiara sus literales con respecto al país en que fuese utilizada, la formula termino convirtiéndose en lo que hoy conocemos como:

Integración por partes 2
Figura 2: Integración por partes 2

¿Como saber que termino es u y cual dv?

En la mayoría de instituciones educativas la respuesta siempre es la misma, para saber cual es u solo debes tomar el termino que parezca más sencillo de resolver, de esta forma el proceso se simplificara.

En teoría esa respuesta no esta del todo mal, sin embargo, hoy te enseñaremos un nuevo método para que no tengas que dejarlo en manos de la suerte.

Este método es conocido como el método del ILATE, esto no es más que un acrónimo que se forma en base a:

  • I: Inversas trigonométricas
  • L: Logarítmicas
  • A: Algebraicas
  • T: Trigonométricas
  • E: Exponenciales

Este método se aplica al encontrarnos con una integral indefinida por partes, si dicha integral cuenta con alguna de las propiedades antes nombradas en el método ILATE, entonces esa variable sera u, mientras que el resto de la integral sera dv.

Se le conoce como elección de variables a la acción de definir que variable sera u y cual se convertirá en dv.

Ejemplos de Integrales indefinidas por partes

Problema 1: Resuelve la siguiente integral indefinida por partes: ∫Ln x dx

Paso 1: Primer deberemos designar que variable sera u y cual dv, en este caso utilizaremos el método ILATE. Al utilizarlo podemos apreciar que la integral cuenta con un termino Logarítmico, con lo cual sabemos que:

u= Ln x
dv= dx

Paso 2: Siguiendo la formula de integración indefinidas por partes, nos percatamos de que para utilizarla aun necesitamos encontrar el diferencia de u y la integral de dv. Sabiendo esto procedemos a buscar los valores faltan tes:

  • u= Ln x : Necesitamos encontrar la derivada de u para obtener du, para derivar Ln x podemos utilizar una propiedad la cual nos dice que d/dx[Ln x] = 1/x, con lo cual sabemos que la derivada de u es 1/x dx

du= 1/x dx

Esto se puede simplificar a:

du= dx/x


  • dv= dx : Ahora deberemos encontrar el valor de v y para esto deberemos integral el valor de dv, en este caso también utilizaremos una propiedad la cual nos dice que ∫dx = x + C.

v= x

Paso 3: Ya que tenemos todas las variables que nuestra formula exige para poder utilizarla, solamente debemos sustituir por los valores obtenidos.

Formula original:

Integración por partes 2

Datos:

u= Ln x
du= 
1/x dx= dx/x
v= x

dv= dx

Sustitución:

∫ Ln x dx = Ln x . x – ∫ x . dx/x

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Nota 1: El punto significa multiplicación

Paso 4: Ahora deberemos estructurar y simplificar la integral obtenida:

∫ Ln x dx = Ln x . x – ∫ x . dx/x

∫ Ln x dx = x Ln x – ∫ dx

¿Que paso? = En el caso de Ln x . x, por regla general la x debe pasar al lado izquierdo y con ello obtenemos x Ln x, en cuanto a x . dx/x, simplemente se elimina la x que multiplica con la x que esta dividiendo y nos queda dx.

Paso 5: Ahora deberemos resolver la integral que nos esta estorbando (por así decirlo), esta es ∫ dx, para resolverla simplemente deberemos utilizar nuevamente la propiedad vista en el paso 2, la cual nos indica que la ∫dx = x + C.

∫ Ln x dx = x Ln x – ∫ dx

∫ Ln x dx = x Ln x – x + C

Paso 6: Tras hallar el resultado debemos de recordar que siempre deberemos intentar simplificar o factorizar lo más que se pueda, quedando como resultado:

∫ Ln x dx = x (Ln x – 1) + C

Esta es la forma correcta de resolver una integral por partes, notese que el uso de las propiedades es fundamental a la hora de simplificar o resolver derivadas o integrales.

Nota 2: Este procedimiento puede variar dependiendo de las expresiones que se utilicen.

Ejemplos en vídeo

A continuación te dejamos algunos ejemplos más en vídeos para que puedas apreciar de forma practica como se resuelven estas integrales (vídeos tomados del canal Tu Ayudante)

Ejercicios resueltos de Integrales indefinidas por partes

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