Integrales indefinidas por fracciones parciales

Integrales indefinidas por fracciones parciales

Por lo general las integrales que se nos presentan a lo largo de los problemas están vinculadas directamente con un método, esto es así para intentar simplificar la función deforma que podamos resolver con algunos de los métodos cómo sustitución, por partes, sustitución trigonométrica, etc.

En esta ocasión hablaremos de las Integrales indefinidas por fracciones parciales, las cuales no pueden ser resueltas con ninguno de los métodos anteriores por la complejidad de las mismas.

¿Que son las Integrales indefinidas por fracciones parciales?

Para integrar funciones racionales se utiliza comúnmente el método de integración indefinida por fracciones parciales, lo que este método Busca es descomponer la función original y expresar la como una suma de fracciones más sencillas, esto con el fin de poder integrar dichas fracciones con los métodos y tablas que ya tenemos.

¿Que fórmula que se utiliza en las integrales indefinidas por fracciones parciales?

Como tal no existe una fórmula para emplear directamente en una integral con funciones racionales que no pueda ser resuelta por ninguno de los métodos anteriormente nombrados, para poder resolver estas integrales se debe factorizar el denominador de tal forma que podemos dividir de integral original en fracciones parciales.

Ejemplo:

A continuación te mostraremos un pequeño ejemplo resuelto de una integral indefinida por fracciones parciales, si bien, este ejemplo no estará sumamente explicado como en otras ocasiones (esto debido a que los problemas de este tema son sumamente largos y es difícil expresarnos en texto) más abajo te dejamos algunos vídeos para que puedas ver cómo se resuelven más integrales.

La integral a resolver es la siguiente:

\begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x^2 - x}\,dx \end{equation*}

Lo primero que se puede apreciar tras analizarla es que no puede ser resuelta con los métodos directos de sustitución, cambio de variable o funciones trigonometricas, esto debido a que no atiende a ninguna de las formulas utilizadas para estos métodos.

Tras comprobar que solo puede resolverse con fracciones parciales, deberemos convertir la integral, esto se logra al factorizar los elementos que se encuentran en el denominador:

  \begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx \end{equation*}

Ahora, dado que cuando sumamos dos fracciones en el denominador obtenemos el producto de los denominadores de las fracciones que se sumaron, tal vez sea posible expresar el radicando como la suma de dos fracciones. Es decir, debemos encontrar A y B tales que:

  \begin{equation*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)} \end{equation*}

Sin embargo, primero debemos realizar las sumas de las fracciones.

  \begin{equation*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{A\,(x-1) + B\,x}{x\,(x - 1)} = \frac{(A + B)\,x - A}{x\,(x - 1)} \end{equation*}

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En la fracción inicial, teníamos por numerador: 3\,x - 1. El coeficiente de x del numerador es 3 y de acuerdo a la suma de las fracciones, debe cumplir: A + B = 3. Por otra parte, el término independiente debe ser -1, y por la suma de las fracciones tenemos: -A = -1. Entonces, A = 1 y B = 2. Esto significa que podemos reescribir la integral como:

  \begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx = \int\!\frac{dx}{x} + \int\!\frac{2\,dx}{x - 1} \end{equation*}

Estas integrales son inmediatas:

  \begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx = \ln x + 2\,\ln(x-1) + C \end{equation*}

Con el fin de enriquecer un poco más el artículo te presentamos a continuación un archivo PDF en el cual encontraras una explicación más amplia y algunos otros ejemplos.

A continuación te dejamos algunos vídeos para que puedas apreciar Cómo se resuelven ejemplos y ejercicios de Integrales indefinidas por fracciones parciales

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Por lo general las integrales que se nos presentan a lo largo de los problemas están vinculadas directamente con un método, esto es así para intentar simplificar la función deforma que podamos resolver con algunos de los métodos cómo sustitución, por partes, sustitución trigonométrica, etc. En esta ocasión hablaremos de...

Nombre del autor: Luis Antonio De La Cruz Reyes.
Rango en el Staff: Administrador y fundador
Descripción: Mi nombre es Luis, un egresado de la carrera de Ingeniería Electrónica, el motivo por el cual funde y cree esta página, fue para formar un sitio que recopilara todo lo que se va a prendiendo durante la carrera, con el fin de que este conocimiento no se perdiera y sea de utilidad para las futuras generaciones.