Las Integrales indefinidas Directas son probablemente las integrales con menor rango de dificultad que existen en la actualidad y esto se debe principalmente a que tal y como su nombre lo expresa, estas integrales se resuelven de manera directa gracias a formulas que encajan a la perfección.

¿Que son las integrales indefinidas directas?

El teorema fundamental del calculo puede aplicarse a diversas funciones, sin embargo, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.

Si la integral a resolver cumple el razonamiento  anterior, entonces se puede llegar a la conclusión de que es una integral indefinida directa.

De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de integración, la integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata, esto es cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrado a partir de la función primitiva.

Integrales indefinidas Directas

Integrales indefinidas Directas: formula ∫x^n

Ejemplos de Integrales indefinidas Directas

Como ya se menciono al principio, estas integrales se aprovechan de las formulas de derivación para encontrar un resultado ya definido con ayuda inversa de las derivadas, un ejemplo de esto se puede apreciar en la figura 1 que te presentamos a continuación:

Figura 1: Integrales indefinidas Directas (Ejemplo 1)

Tal y como se puede apreciar en el primer ejemplo, la integral que debemos resolver es ∫sec^2(x)dx, como primer paso, debemos analizar que clase de integral es, al revisar el formulario de derivadas de funciones trigonométricas, encontramos que la derivada de Tang (x) = Sec^(x).

Con lo anterior cumplimos la regla que vimos al principio del artículo (si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.)

Al encajar perfectamente podemos invertir el resultado de la antiderivada y obtener que ∫sec^2(x)dx = Tang (x) +C.

Lo anterior solo refleja el mejor escenario de la integración, sin embargo, en integrales indefinidas directas, existen propiedades que resuelven casos que no están ayudados por formulas de derivación, esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, el cual nos muestra la descomposición de la integral para su resolución final en base a la formula ∫x^n dx = x^n+1 / n+1.

La integral indefinida directa que resolveremos se puede apreciar en la figura 2 que se aprecia a continuación:

Figura 2

En la integral podemos observar que los términos se están sumando, con lo cual podemos descomponer la función en integrales individuales tal y como se puede ver  a continuación, únicamente se separaran los terminos que estan divididos por signo de suma o resta y se descompuso en integrales individuales.

Figura 3

Ahora ya podemos aplicar nuestra formula ∫x^n dx = x^n+1 / n+1.

La formula nos dice que para resolver una integral en donde x se encuentre elevada a una potencia, se debe sumar un 1 a dicha potencia y para que la formula se cumpla, también se debe agregar el valor n+1 al denominador, convirtiéndola así en una fracción.

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Figura 4

En la figura 4 se puede apreciar que la formula se cumple el primer termino, dándonos como resultado x^4/4, lo mismo sucede en el tercer termino, el cual nos da como resultado x^2/2.

Para resolver el segundo y el cuarto termino, primero debemos quitar los numeros que nos estorban y esto se puede conseguir al sacarlos de la integral, tal y como se apreciar en la figura 4.

En la figura 5 podemos observar que tras sacar el 3 de la integral y resolver la ∫x^2 dx, nos queda un 3 que multiplica y un 3 que divide, por lo cual, estos se eliminan.

Figura 5

Finalmente obtenemos el resultado de nuestra integral indefinida directa, recordemos que en las integrales indefinidas siempre se agrega al resultado un signo de suma y una constante que puede ser plasmada como C.

Figura 6

Ejercicios resueltos de Integrales indefinidas Directas

A continuación puedes ver algunos ejercicios resueltos para que puedas estudiarlos, analizarlos y comprenderlos.

Figura 7: Ejercicios resueltos de integrales indefinidas directas 1

Figura 8: Ejercicios resueltos de integrales indefinidas directas 2

Figura 9: Ejercicios resueltos de integrales indefinidas directas 3

Por último, para completar el tema te dejamos con algunos cuantos vídeos que te mostraran como se resuelven este tipo de integrales de una manera más practica y visual.

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Las Integrales indefinidas Directas son probablemente las integrales con menor rango de dificultad que existen en la actualidad y esto se debe principalmente a que tal y como su nombre lo expresa, estas integrales se resuelven de manera directa gracias a formulas que encajan a la perfección. ¿Que son las integrales...

Nombre del autor: Luis Antonio De La Cruz Reyes.
Rango en el Staff: Administrador y fundador
Descripción: Mi nombre es Luis, un egresado de la carrera de Ingeniería Electrónica, el motivo por el cual funde y cree esta página, fue para formar un sitio que recopilara todo lo que se va a prendiendo durante la carrera, con el fin de que este conocimiento no se perdiera y sea de utilidad para las futuras generaciones.