integración por sustitución

integración por sustitución

En algunas ocasiones nos percataremos de que para encontrar una integral se necesita más que las formulas convencional, para esto se deben utilizar diversos métodos, uno de estos métodos se le conoce como Integración por sustitución.

Tal y como su nombre lo indica, la integración por sustitución plantea sustituir algunas funciones con el fín de encontrar una solución más sencilla al problema presentado, un ejemplo de esto lo podemos ver a continuación.

Ejemplo 1:  integración por sustitución

Primero que nada deberemos reconocer que función puede ser remplazada o sustraída temporalmente con el fin de simplificar el problema, en este primer ejemplo nos encontramos con que podríamos utilizar lo que se encuentra entre paréntesis, quedando representado de la siguiente manera: u(x) = x^2+1.

A esto último debemos de sacarle su diferencial y con esto obtendríamos: du = 2xdx.

De esta forma podemos escribir lo siguiente:

Pareciera que en principio la integral no cambio mucho y solo se le añadió otra diferente en lugar de dividir la integral original por el procedimiento convencional, gracias a que seguimos el método de sustitución, ahora podemos resolver el problema de una manera más sencilla.
Tras llegar a este punto, solo debemos sustituir “u” para así poder volver a la variable original “x“.

Recordemos que si C es una constante arbitraria (constante de integración), esta seguirá siendo arbitraria con la variable x o con cualquier otra. Por lo tanto, obtenemos que:

Resumen del procedimiento: Tomamos una parte de la integral y la resolvemos como si se tratase de u(x) y luego calculamos su diferencial du, posteriormente observamos el producto u(x)dx con el fin de verificar que sea toda la integral dada. Finalmente procedemos a integrar.

Ejemplo 2

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El procedimiento para este caso resulta ser muy parecido al del ejemplo anterior, salvo una pequeña cosa que nos obligara a redefinir el procedimiento.

Primero hacemos u(x) = x2+1, posteriormente sacamos la diferencial: du = 2xdx, sin embargo, en esta caso podemos darnos cuenta de que ahora el producto u2du no coincide con la integral.

Por lo tanto, debemos dividir por la integrada con la variable u; Es decir:

En este segundo procedimiento, la diferencia entre ambas integradas (la original y la nueva en variable u), sólo puede ser una constante multiplicativa.

Nota: en ocasiones la diferencia ente ambas integrales no es una constante multiplicativa, esto puede desencadenar un gran problema ya que no se puede obtener una solución por el método de sustitución, sin embargo, existen algunos casos en donde si se pueden resolver, tal y como se puede ver a continuación.

Sin constante multiplicativa

Sin constante multiplicativa

Problemas y ejercicios de integración por sustitución

A continuación te presentamos varios problemas y ejercicios para que intentes resolverlos, de esta manera tu comprensión del tema ser más amplia, puesto que, el verdadero conocimiento nace cuando lo intentas por ti mismo.

Ejercicios de Integración por sustitución

Ejercicios de Integración por sustitución

Vídeo demostrativo de Integración por sustitución

En caso de que los ejemplos mostrados en este artículo no te hayan sido de la suficiente utilidad, te dejamos un vídeo que a nuestro juicio parece contar con todo lo necesario para que comprendas el procedimiento necesario para realizar una integración por sustitución, el siguiente vídeo es propiedad del canal Julio el profe y inicuamente se añade al artículo para intentar aumentar la comprensión de este.

 

Nombre del autor: Luis Antonio De La Cruz Reyes.
Rango en el Staff: Administrador y fundador
Descripción: Mi nombre es Luis, un egresado de la carrera de Ingeniería Electrónica, el motivo por el cual funde y cree esta página, fue para formar un sitio que recopilara todo lo que se va a prendiendo durante la carrera, con el fin de que este conocimiento no se perdiera y sea de utilidad para las futuras generaciones.

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