Derivada de funciones implícitas, Regla y ejemplos

Derivada de funciones implícitas
Derivada de funciones implícitas

Derivada de funciones implícitas

Para este tema la primera pregunta que debemos hacernos es ¿que es una función implícita? ya que de esto se desarrolla el tema.

A una función del tipo y(x) se le puede considerar como implícita cuando esta dada en la forma F(x, y) = 0 en lugar de su forma habitual.

Reglas de derivación implícita

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función  F(x,y) \,, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x:  \frac{dy}{dx} = f'(x) .

Si consideramos  y = f \left ( x \right ) es una función en términos de la variable independiente x y  G \left ( y \right ) es una función en términos de la variable dependiente y, dado que  y = f \left ( x \right ) , entonces para obtener la derivada:

 D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G' \left ( f \left ( x \right ) \right ) \left ( f' \left ( x \right ) \right )

Derivadas implícitas ejercicios resueltos

Obtener la derivada de:

 6x^2y + 5y^3 + 3x^2 = 12 - x^2y^2 \,

El término  6x^2y se puede considerar que son dos funciones,  6x^2 y  y por lo que se derivará como un producto:

 D_x \left ( 6 x^2y \right ) = \left ( 12x \right ) \cdot y + \left ( 6 x^2 \right ) \cdot \left ( \frac{dy}{dx} \right )

El término  5 y^3 se deriva como:

 D_x \left ( 5 y^3 \right ) = 15y^2 \cdot \frac {dy}{dx}

El término  3 x^2 se deriva de forma normal como:

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 D_x \left ( 3x^2 \right ) = 6x \,

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

 D_x \left ( 12 \right ) = 0 \,

El término  x^2y^2 se puede considerar como un producto y se deriva como:

 D_x \left ( x^2y^2 \right ) =2xy^2 + x^2 \cdot \left ( 2y \cdot \frac {dy}{dx} \right )

Al unir todos los términos se obtiene:

 12xy + 6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 6x = - 2xy^2 -2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}

Ordenando:

 6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}= -12xy - 6x- 2xy^2

Factorizando respecto a ( \frac {dy}{dx} ) los valores son:

\left ( 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y \right ) \cdot \frac{dy}{dx} = - \left ( 12xy + 6x + 2xy^2 \right )

Finalmente despejando \frac {dy}{dx} se obtiene la derivada de la función implícita:

 \frac{dy}{dx} = - \frac { 12xy + 6x + 2xy^2 } { 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y }

Este tema es muy amplio y como sabemos que no se puede abarcar todo en un articulo, como en todos los post te dejamos un vídeo para que puedas complementar el tema de Derivada de funciones implícitas:

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3 Comments

  1. interesante pero no puedo resolver este ejercicio por favor ayúdenme
    La ecuación e^y=x^{kLn^2}^x , define implícitamente a: y=f(x) . Y cuando x=e^3 , y^n=-6e^{-6} , encontrar el valor de “k” .

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