Definición de serie

Definición de serie
Definición de serie

Usualmente en calculo integral se define a la serie como la suma de infinitos números, sin embargo, dependiendo de algunos factores se ha determinado que por si mismo este concepto presenta algunos errores al intentar sumar números infinitos cuando la vida de la persona que los suma es finita.

Para no tener que sumar al infinito tenemos variables que ejemplifican el infinito de una manera más entendible colocándolo como una expresión matemática cuyo valor se va incrementando. Para reforzar esto, en calculo integral tenemos las sucesiones.

Una sucesión puede ser representada por una función, en la cual se pueden mostrar números naturales o letras para la representación de una serie al infinito, a esto también se le conoce como una serie de funciones.

En caso de que la serie llegara a ser finita, se dice entonces que se ha llegado a un punto de convergencia, siempre que nuestra serie posea un resultado finito entonces tendrá convergencia.

Series de potencia: Son los términos o valores  de una sucesión y que usualmente corresponden a la serie de Taylor de alguna función conocida.

serie de Taylor

 

Convergencia puntual: Uno de los teoremas más citados para entender este concepto es el de Egórov, dicho teorema afirma que la convergencia puntual puede detectarse y clasificarse como casi todo punto en un conjunto de medida finita que implique convergencia en un entorno pequeño.

Se habla de pequeño ya que existe también la convergencia uniforme, la cual, puede abarcar una mayor área si tomamos como ejemplo una forma geométrica.

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Para profundizar más en la convergencia uniforme te recomendamos mirar este PDF que da una definición y varios ejemplos que la demuestran.

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convergencia con media cuadrática: Un ejemplo de este tipo de convergencia, se pude dar en la sucesión de variables aleatorias, {Xn} , converge en media cuadrática, a una variable aleatoria X (que puede degenerar en una constante K) cuando se cumple que:

de esta forma interpretaremos que


cuando en el límite , la dispersión de la sucesión de variables aleatorias tomando como origen de ésta la variable a la que converge , es 0. Es de importancia notar que pueden plantearse diversos tipos de convergencias en media dependiendo del orden r del exponente (en este caso 2)

Series de Fourier: Este tipo de series se utilizara para analizar funciones periódicas que se generan a través de una descomposición de las mismas en una suma infinita de funciones más simples, estas series pueden ser identificadas fácilmente por la combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras.

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