Concepto de diferencial:

El diferencial puede ser interpretado de muchas maneras, sin embargo en el concepto geométrico podemos definir al diferencial como la elevación o aumento de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Interpretación geométrica de las diferenciales:

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento  que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por  y .

Interpretación geométrica

Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida que la entrada de la función varía.

Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta varía en cada punto.

Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la función.

La noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representación geométrica, y la otra como la tasa de variación, que es la representación física. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la función geométrica.

Supongamos que una función f(x) = x2.

La gráfica de la función luciría de la siguiente forma

 gráfica de la función

La curva de color azul representa el gráfico de la función.

Tome dos puntos en el eje x, supongamos x y x0 como en el gráfico de arriba.

Determine el valor de la función en esos valores de x. Ahora trace una línea que pase por esos puntos sobre la curva de la función para obtener una línea recta.

La línea roja en el gráfico anterior representa esa línea.

A medida que muevo los puntos sobre el eje x más cerca uno del otro conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a través de la curva de la función. En el instante que x = x0, la gráfica se vería así,

 la curva de la función

En tal situación, la recta tocaría el gráfico en un solo punto y por tanto tendría la misma pendiente que la pendiente de la gráfica en ese punto. Esta recta se conoce como la tangente de la función en ese punto.

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Determinar la pendiente de la tangente en ese punto te extraerá la derivada de la función en ese punto.

La pendiente de la recta que posee los puntos(x, f(x)) y (x0, f(x0)) será,

 La pendiente de la recta

Aquí el valor de x no debe ser igual a x0.

Mientras que la pendiente de la tangente, lo que es igual, la derivada de la función, donde tenemos que x = x0 es,

 derivada de la función

Los valores de m y m(x) son casi iguales cuando los puntos x y x0 están muy cerca uno del otro.

Vale la pena saber que en ciertos lugares es mucho más fácil calcular el límite cuando el valor de la variable es casi igual a cero.

Podemos hacerlo mediante la traslación a lo largo del eje x.

En efecto, estableciendo el valor de h cuando x – x0 obtenemos,

 la curva y la recta tangente

Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la curva y la recta tangente pueden simplemente compartir este punto en común.

Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la recta de tangencia deja la curva en una mitad donde se separa del plano.

Sin embargo, la pendiente de la tangente o la derivada de la función es simplemente una estimación lineal de la curva en un punto.

Por ultimo les dejamos un vídeo que demuestra la parte practica de este tema:

https://i2.wp.com/ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/la-curva-de-la-función.png?fit=205%2C145&ssl=1https://i2.wp.com/ingenieriaelectronica.org/wp-content/uploads/la-curva-de-la-función.png?resize=128%2C91&ssl=1LuisCálculo Diferencial

Concepto de diferencial: El diferencial puede ser interpretado de muchas maneras, sin embargo en el concepto geométrico podemos definir al diferencial como la elevación o aumento de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales: Recuérdese que la derivada de la función en el punto...