Cálculo de integrales definidas

Cálculo de integrales definidas

El Cálculo de integrales definidas también es conocido como integración numérica o cuadratura numérica, aun que el significado que más se aproxima es el de ecuación dimensional, esto se refiere al tipo de ecuaciones que poseen más de una dimensión.

Una forma más fácil de comprender que es una integral definida podría ser la siguiente: En principio, una integral convencional se utiliza para calcular el área o el volumen de una figura en un plano cartesiano, al utilizar una integral, obtendremos como resultado el área total de la figura que estemos analizando.

Por el contrario, en una integral definida se añaden limitantes, con el fin de particionar la figura y así poder calcular únicamente el área entre un punto A y un punto B, Un ejemplo de esto se puede apreciar en la figura 1.

Integrales definidas

Figura 1: Integrales definidas

Propiedades de las integrales definidas

Para ayudarnos a resolver los problemas y ejercicios de integrales definidas, contamos con algunas propiedades que nos ayudaran en el proceso, a continuación te las mostramos.


Procedimiento para resolver una integral definida (Ejemplos)

Analizar la integral

En la figura 2 se puede apreciar una integral definida por los puntos 1 y 2, además si miramos con atención podremos notar que los elementos internos de la integral forman una función cuadrática.

Integral definida Ejemplo 1

Figura 2: Integral definida Ejemplo 1

Al tener una función cuadrática, sabemos que nuestra resultante en el plano cartesiano sera una parábola tal y como la que se observa en la figura 3.

Integral definida parábola

Figura 3: Integral definida parábola

Al definir que la forma de nuestra figura es una parábola, ahora deberemos delimitar los puntos A y B en el plano cartesiano, esto con el fin de calcular el área en unidades cuadradas de lo que se encuentra entre esos puntos o segmentos.

Nota: Recordemos que el punto B equivale a 2 y el punto A equivale a 1.

Integral definida ejemplo 1-2

Figura 4: Integral definida ejemplo 1-2

Resolver la integral

Ahora que ya sabemos algunos cuantos datos más de nuestra integral definida, ahora procedemos a resolverla tal y como si se tratase de cualquier otra integral, los puntos A y B solo nos serán de utilidad al final del problema.

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En la figura 5 se puede apreciar el proceso de integración que se esta siguiendo, en base a las formulas básicas de integración, así mismo obsérvese que los limites no desaparecen.

Integral definida ejemplo 1-3

Figura 5: Integral definida ejemplo 1-3

Tras resolver la integral, ahora deberemos centrarnos en los puntos A y B, puesto que estos remplazaran a todas las X que tengamos en nuestra función, primero remplazamos el 2 (Punto B) y posteriormente hacemos lo mismo con 1 (Punto A).

Integral definida ejemplo 1-4

Figura 7: Integral definida ejemplo 1-4

si ya remplazamos todas las X por los valores de los puntos A y B, ahora deberemos haber encontrado los valores de los puntos definidos. Esto se puede apreciar en la figura 8.

Integral definida ejemplo 1-5

Figura 8: Integral definida ejemplo 1-5

Ahora, ya podemos  saber cual es el área que tenemos entre los puntos A y B para nuestra parábola en el plano cartesiano, para esto, simplemente deberemos hacer una sencilla resta entre los valores que obtuvimos al remplazar los puntos definidos en la integral.

En la figura 9 se puede apreciar el resultado de la resta entre los puntos B y A (el orden de resta debe ser este), nótese también que el resultado se da en unidades cuadradas, esto debido a que estamos calculando el área.

Integral definida ejemplo 1-6

Figura 9: Integral definida ejemplo 1-6

El anterior fue un ejemplo muy sencillo, estudiado con el fin de observar como se resuelve una integral definida, a continuación te dejamos varios vídeos en donde podrás ver más ejemplos prácticos para complementar el tema.

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El Cálculo de integrales definidas también es conocido como integración numérica o cuadratura numérica, aun que el significado que más se aproxima es el de ecuación dimensional, esto se refiere al tipo de ecuaciones que poseen más de una dimensión. Una forma más fácil de comprender que es una integral definida podría...