Análisis de la variación de funciones

Análisis de la variación de funciones

El Análisis de la variación de funciones es muy importante en el calculo diferencial ya que es utilizado para la resolución de varios teoremas, estos análisis traen con sigo algunas funciones que nos seran de mucha utilidad a la hora de resolver problemas de calculo diferencia.

Análisis de la variación de funciones

Podemos decir e interpretar que la variación total de cualquier función particular puede y sera finita, en el caso de que esto se cumpla, la función se conoce como Función de Variación Acotada, la cual se abrevia comúnmente en los libros como Función BV (Bounded Variation por sus siglas en inglés).
El gráfico que corresponde a la función BV se dice que se comporta en un sentido preciso. Si nos explayamos un poco la función BV tiene varias aplicaciones en varias sub ramas de las matemáticas como por ejemplo el calculo diferencia, y se le puede utilizar en la resolución de teoremas muy importantes, algunos ejemplos de estos son los Teoremas de Fourier. En el caso de las funciones continuas que poseen sólo una variable, la variación acotada se refiere a la distancia finita que se cubre por un punto a lo largo del eje y. Otra de las clasificaciones establecen que las funciones de variación acotada, posee la propiedad de intervalo cerrado, y esto se refiere a que estas funciones pueden establecerse como la diferencia entre dos monótonas acotadas.
La variación Acotada de una función determinada en el rango o intervalo [x, y] como representarse como:
La variación Acotada
Donde S es el conjunto acotado:
 conjunto acotado de S
Tal y como podemos ver en la formula de arriba, la variación resulta se infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S también se le conoce como Variación Total o sólo la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x). Hay algunos teoremas que nos pueden ser de utilidad para el análisis de la variación de la función:
1). Si el conjunto o rango [x, y], se dice que la función está incrementando, en ese caso, es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y consecuentemente V [g [x, y]] = g(y) – g(x).
2). Si en el conjunto [x, y] podemos determinar que la función e contante, entonces es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y entonces V [g [x, y]] = 0.
Si utilizamos como ejemplo a g(r) = c podemos decir que es una función de variación acotada constante en el intervalo [x, y].
| g (ri) – g (ri – 1)| = 0 por cada partición del conjunto [a, b]. Por tanto, V (g, [x, y]) = 0.
3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de variación acotada y c es constante, en ese caso
a). g es una función de variación acotada en el intervalo [x, y].
b). g es una función de variación acotada en cada subintervalo cerrado del intervalo [x, y].
c). cg es también una función BV en el conjunto [x, y].
d). g + f y g –f son BV en el conjunto [x, y]
e). gf es también BV en el conjunto [x, y].
  • Se puede determinar como datos extras que las funciones especiales se pueden establecer como que una función de variación acotada y se puede expresar también por la divergencia de 2 funciones crecientes.
  • De la misma manera, podemos decir que todas las funciones totalmente continuas son de naturaleza BV, sin embargo, hay que tener en cuenta que no siempre es necesario que todas las funciones continuas BV deban ser totalmente continuas.
  • La función f puede ser considerada como BV en el conjunto [x, y] si, la derivada de f se encuentra acotada en [x, y].
  •  Además, cuando dos funciones variación acotada se multiplican entre sí, entonces la resultante es también una función de variación acotada.
Hay algunas propiedades básicas que son seguidas por las Funciones de Variación Acotada:
1) Las Funciones de Variación Acotada pueden tener discontinuidad de primer tipo, es decir, discontinuidad de salto.
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El Análisis de la variación de funciones es muy importante en el calculo diferencial ya que es utilizado para la resolución de varios teoremas, estos análisis traen con sigo algunas funciones que nos seran de mucha utilidad a la hora de resolver problemas de calculo diferencia. Análisis de la variación...