Propiedades de la derivada

Propiedades de la derivada

Propiedades de la derivada

Las derivadas son parte elemental del Cálculo diferencial, estas proveen muchas alternativas a la hora de intentar resolver problemas matemáticos, hay muchas definiciones utilizadas para este concepto debido a que hablar de derivadas es adentrarse en un tema muy extenso, sin embargo el concepto más utilizado es que la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varia la entrada de la función. A la derivada también se le conoce como la Anti integral ya que realiza el procedimiento contrario que realiza la integral.

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Reglas y Propiedades de la derivada

Existen formulas elementales que son utilizadas dependiendo del nivel de dificultad de la derivada, sin embargo antes de adentrarse a este amplio universo de posibilidades deberemos conocer algunas propiedades que distinguen a las derivadas, estas propiedades pueden ayudar a identificar y resolver una derivada de forma más eficiente.

A continuación te mostramos algunas de las propiedad más utilizadas, posteriormente te dejaremos algunos ejemplos y ejercicios.

1. Si tenemos una función f(x): X → Y y esta es diferente en un punto P, entonces podemos entender que la función f(x) sera continua en el punto p.

2. El resultado obtenido de la suma de la derivada de 2 funciones sera igual a la suma de las derivadas de dichas funciones tomadas individualmente. Esta resta también es aplicada cuando se utiliza la resta. a esta propiedad se le conoce también como la regla de la linealidad.

Regla de la linealidad

3. La derivada que se aplica a la multiplicación de una cantidad escalar con una función sera igual cuando la cantidad escalar se multiplique a la derivada de la misma función.

La derivada de la multiplicación

4. La derivada de un numero el cual debe ser constante siempre sera igual a cero.

 La derivada de un numero es igual a 0

5. La diferencia entre una variable con respecto a si misma dará como resultado uno.

 d(x)/dx = 1

6. La derivación de la multiplicación de dos funciones seria lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.

la regla del producto

7. La derivada de una variable la cual es elevada a una potencia sera siempre igual a las veces que representa la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es conocida como la regla de la potencia. Para que esta regla o propiedad se cumpla, “n” deberá ser un numero real.

 la regla de la potencia

8. En el caso de la derivada de la división de una función con alguna otra función, sera lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Para que esta propiedad se cumpla el resultado de la función no puede ser igual a 0. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

 la regla del cociente

9. La regla de la cadena es una de las propiedades más difíciles o mas bien dicho tediosas que existen, esta regla o propiedad es utilizada únicamente la resolución de funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,

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h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)

Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,

La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia,

d(5x4)/dx = 5[d(x4)/dx]

= 5(4x4−1)

= 5(4x3)

= 204x3

Ejemplos de la aplicación de las Reglas en las derivadas

Derivada de una constante

Derivada de una variable independiente

Regla de derivación

Por ultimo como ya es costumbre te traemos un vídeo en el cual puedes visualizar de forma practica como se desarrolla el tema de Propiedades de la derivada.

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Propiedades de la derivada Las derivadas son parte elemental del Cálculo diferencial, estas proveen muchas alternativas a la hora de intentar resolver problemas matemáticos, hay muchas definiciones utilizadas para este concepto debido a que hablar de derivadas es adentrarse en un tema muy extenso, sin embargo el concepto más utilizado es...