Límites laterales Definición y Ejemplos

Si hablamos desde el punto de vista de los números reales podríamos abarcar infinito e infinitésimo, teniendo esto en cuenta podemos entender que si tenemos 2 números entonces podemos encontrar números infinitos entre ellos, un ejemplo de esto es si tomemos dos números, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5 → 4 .… 4,5 ….. 5

Ahora busquemos un número entre 4 y 4,5 (podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5) →4 …… 4,3 ….. 4,5

Ahora siguiendo el procedimiento anterior encontramos un numero entre 5 y 5,3 (podemos tomar 5,1 que está entre 4 y 4,3) →4 ……. 4,1 …… 4,3

Como ya vimos en el ejemplo anterior este bucle se puede volver infinito ya que la sucesión entre estos causan que existan muchas combinaciones, un ultimo ejemplo para que quede claro si tenemos 4 y 4,1 (podemos tomar 5,08 que está entre 4 y 4,1) →4 …… 4,08 …. 4,1

Podemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número “4” todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente “4” es el límite que no podemos tocar. Como nos acercamos desde valores mayores a 4, se dice que nos “acercamos por la derecha“.

Límites laterales acercamiento por la derecha

Límites laterales acercamiento por la derecha

Si nos acercáramos con valores más pequeños, nos “acercaríamos por la izquierda“.

Límites laterales acercamiento por la izquierda

Límites laterales acercamiento por la izquierda

Video demostrativo de Límites laterales 

La definición de un límite está estrechamente unida al concepto de función. Cualquier numero que se acerque a 4 (en este ejemplo) pueden obtenerse de una ecuación (lineal por ejemplo) como y = 4 + x. Donde al darle valores a x obtenemos “esos” números que se acercan a 4 por derecha e izquierda. Evidentemente, de acuerdo al tipo de ecuación que tengamos, serán los valores de x a tomar en cuenta.

En este caso no nos interesa cuando x = 0, ya que no queremos que “la cuenta” de 4 (que es nuestro límite).

x

y = 4 + x

– 0,1 3,9
– 0,01 3,99
– 0,001 3,999
– 0,0001 3,9999
¬ Por izquierdaPor derecha →

x

y = 4 + x

 0,1

4,1

 0,01 4,01
 0,001 4,001
 0,0001 4,0001

 El valor de x se acerca a “cero” y el valor de “y” (la imagen de la función) se acerca a 4. Debemos entender que ya no podemos usar un lenguaje de nivel normal y referirnos a este ejemplo como “se acerca a”, y debemos comenzar a decir que “tiene a”; x tiende a cero cuando y tiende a cuatro. Es real, a los que hacemos matemática no nos gusta escribir mucho. Se reemplaza las palabras con símbolos para ahorrar tiempo (el esfuerzo mental se reserva para el problema matemático). Así que en vez de escribir “tiende a” se pone una flecha. De manera que “x tiende a cero” se indica “x → 0″ e “y tiende a cuatro” se escribe como “y → 4″.

Ya estamos un poco más cerca de poder leer “matemáticamente”. El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite.

Limite1 Limite2

No siempre los límites laterales (izquierda y derecha) son iguales. Analicemos la siguiente función.

Para hallar el límite de esta función (paramétrica) debemos separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que “1”, (x + 3), de la parte que se utiliza con los valores mayores a “1”, (x – 1).

Nuevamente (para escribir menos) indicamos con el signo “+” (colocado como super índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la derecha. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos “x” por el número a que tiende:Limite4

Indicamos con el signo”–” (colocado como super índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la izquierda. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos “x” por el número a que tiende:

Limite5

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Los límites laterales (izquierda y derecha) no son iguales, entonces, la función no tiene límite en x = 1.

Limite14

Probemos con otra función y analicemos los límites laterales; si ellos dan lo mismo, el límite de la función es ese valor.

Limite13

funcion1De las que tenemos que tenemos la definición de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) cuya explicación se encuentra en dichas funciones.

Cuando el límite (de x tendiendo a un valor que depende de la función, por eso la llamamos “a“) por izquierda y por derecha tiende a infinito; característica que define a la asíntota vertical.

Limite7

 Cuando el límite (de x tendiendo a infinito por izquierda “– ¥” y por derecha “+ ¥“) tiende a un valor que depende de la función, por eso la llamamos “b“; característica que define a la asíntota horizontal.

Limite8

Si a = 0 y b = 0, podemos reducir a los conocidos

Limite9Otra aplicación de límites podemos hallarlas en las ecuaciones exponenciales de tipo

Es de destacar que el intervalo [–1, 0] no pertenece al dominio de la función (queda en ustedes averiguar por qué).

A medida que x se hace más grande, tiende a infinito positivo (x → + ¥) la imagen “se acerca a un valor” 2,718281828 … (número irracional) que se lo denomina e. De igual manera, si tomamos valores de x cada vez más chiquitos, tiende a infinito negativo (x → – ¥) la imagen también “se acerca al mismo valor” e.

Limite6

Otra aplicación similar podemos hallarla en las funciones cuya ecuación exponencial es del tipo f(x) = (1 + x)1/x.

Nuevamente el dominio está restringido, en este caso, a valores mayores a – 1. Si hacemos que xtienda a cero, por izquierda y por derecha, el valor del límite (las imágenes que obtenemos al resolver la ecuación con cada valor de x elegido)  también dará como resultado e.

Limite11

Ejercicios de Límites laterales

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Límites laterales Definición y Ejemplos Si hablamos desde el punto de vista de los números reales podríamos abarcar infinito e infinitésimo, teniendo esto en cuenta podemos entender que si tenemos 2 números entonces podemos encontrar números infinitos entre ellos, un ejemplo de esto es si tomemos dos números, por ejemplo, 4 y...