En este tema hablaremos de las Derivadas de orden superior y regla L Hopital y dividiremos el articulo en 2 partes para ver ambos temas individualmente.

Derivadas de orden superior

Una derivada de orden superior puede ser explicada de la siguiente manera: Si una derivada cumple la regla de ser una función continua y esta puede ser derivada constantemente hasta encontrar en algún momento la N-ésima derivada. A este tipo de derivadas se le conocen como de orden superior.

Para ejemplificar lo ya antes mencionado podemos visualizar el siguiente ejemplo de este tipo de derivadas, en el cual se demuestra como al derivar una y otra ves la derivada inicial podemos llegar a la N-ésima derivada:

Notación de derivadas de orden superior

Derivadas de orden superior ejercicios resueltos

Ejemplo 1

Derivadas de orden superior Ejemplo 1

Ejemplo 2Derivadas de orden superior Ejemplo 2

Ejemplo 3Derivadas de orden superior Ejemplo 3

Ejemplo 4Derivadas de orden superior Ejemplo 4

Ejemplo 5Derivadas de orden superior Ejemplo 5

Vídeos con ejemplos de las derivadas de orden superior

Regla L Hopital

En la materia de calculo diferencial la regla de l’Hôpital o regla de l’Hôpital-Bernoulli (por su descubridor) es usada en las derivadas y sirve para evaluar los limites de las funciones que se presenten en forma indeterminada. Dicha regla recibe su nombre gracia al matemático francés Guillaume François Antoine, marqués de l’Hôpital (1661 – 1704), el cual presento sus ideas junto con esta regla en una de sus primeras obras que trataba sobre la aplicación del calculo diferencial, aun que hay que decir que teóricamente este personaje no fue el creador de esta regla, el verdadero autor que creo y demostró la regla se llamo Johann Bernoulli, y la razón de que Guillaume tuviera crédito por la regla es que el la exploto en su obra, ademas de haber llegado a un acuerdo económico con Bernoulli para que este le cediera los derechos de su idea.

La regla dice que: 

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Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g’(x)≠0 si xc.

Si existe el límite L de f’/g’ en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto se puede concluir que:

Regla L Hopital

Demostración de la Regla L Hopital

Para demostrar esta regla a fondo se necesitaría de un estudio mucho muy complejo así que por el momento te traemos la demostración básica de la regla.

  • Como g(c)=0 y g’(x)≠0 si xc, se tiene que g(x)≠0 si xc como consecuencia del Teorema de Rolle.
  • Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe tx en el intervalo de extremos a y b, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera:

Regla L Hopital demostración

  • Cuando x tiende hacia c, por la regla del sándwich, tx también tiende hacia c, así que:

Regla L Hopital

 

Regla L Hopital ejercicios resueltos

Ejemplo 1

regla l hospital ejemplo 1

Ejemplo 2regla l hospital ejemplo 2

Vídeos con ejemplos de la Regla L Hopital 

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En este tema hablaremos de las Derivadas de orden superior y regla L Hopital y dividiremos el articulo en 2 partes para ver ambos temas individualmente. Derivadas de orden superior Una derivada de orden superior puede ser explicada de la siguiente manera: Si una derivada cumple la regla de ser una...